====== Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.1 ====== === Aula 32 - quarta 11/7=== Hoje discutimos os problemas das listas 6 e 7, como revisão para a prova, que será na próxima sexta 13/7. Bom estudo para todos!\\ A vista de prova deve ser na segunda-feira 16/3 a partir das 14h, na minha sala. Assim que eu tiver as notas da P2 vou publicar [[:notas|aqui]]. === Aula 31 - sexta 6/7=== * Começamos com duas aplicações de teoria de perturbações independentes do tempo para o caso não-degenerado: efeito Stark quadrático e uma perturbação delta no meio do poço quadrado infinito. * Descrevemos a teoria de perturbações para o caso degenerado, encontrando as correções de energia até segunda ordem. Resolvemos a quebra de degenerescência causada pelo efeito Stark dinâmico no nível n=2 do átomo de Hidrogênio, usando teoria de perturbações até primeira ordem. Depois vimos uma Hamiltoniana simples de um sistema de 3 níveis e calculamos correções devido a uma perturbação, até 2a ordem em teoria de perturbações. Na próxima aula veremos problemas das listas e outras aplicações de teoria de perturbações, e na aula seguinte teremos nossa prova final. Vocês tem uma lista de sugestões de problemas de teoria de perturbações, vejam a página de [[:listas|listas de exercícios.]]\\ O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 6, páginas 6 a 14]]. === Aula 30 - quarta 4/7 === Simetrias: * Teorema: se H é invariante por inversão temporal e tem auto-estado não-degenerado, esse autoestado pode ser escolhido como real (com escolha de fase global). * Inversão temporal para spins 1/2: vimos que \Theta^2=-1 para spins 1/2. Isso resulta no teorema de Kramer: um sistema invariante por reversão temporal e com N spins 1/2, onde N é ímpar, só pode ter autoestados degenerados de energia. Teoria de perturbação independente do tempo. * Definição do problema e da abordagem: queremos obter aproximações para autovalores e autovetores de H=H_0+\lambda H_1, onde H_0 é a Hamiltoniana não-perturbada que sabemos resolver, H_1 é uma Hamiltoniana arbitrária com elementos de matriz da mesma ordem de grandeza que os de H_0, e \lambda \ll 1 é o parâmetro perturbativo. Procuramos aproximações sucessivas, que serão corretas até certa potência de \lambda. * Encontramos os autovetores perturbados em termos da Hamiltoniana não-perturbada (até O(\lambda)), e as energias até O(\lambda^2). Na próxima aula veremos aplicações. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 5, páginas 18 a 20, e cap. 6, páginas 1 a 5]]. === Aula 29 - sexta 29/6=== Simetria de paridade (continuação): * A simetria de paridade de uma Hamiltoniana implica em uma regra de seleção - o operador x não conecta estados de paridade diferente. O mesmo é verdade para qualquer operador ímpar sob paridade. Entre outras coisas, isso significa que estados não-degenerados de Hamiltonianas com simetria de paridade não podem ter momento de dipolo permanente. Simetria de inversão temporal: * Definição de inversão temporal (ou melhor, inversão do movimento) na física clássica como guia para a MQ. * Vimos que se \psi(\vec{x},t) é solução da equação de Schrodinger, então \psi^*(\vec{x},-t) também é. Isso indica que o operador de reversão temporal deve ter a ver com a conjugação, logo mais veremos isso. * Antes de discutir o operador de reversão temporal, precisamos estudar um pouco operadores anti-unitários. O teorema de Wigner diz que os únicos operadores que preservam o módulo dos produtos internos em MQ são os operadores unitários e anti-unitários, mas ainda não tínhamos encontrados estes últimos. Vimos que operadores anti-unitários podem ser escritos como \Theta=UK, onde U é operador unitário e K é o operador de conjugação. Vimos também que a ação do operador de conjugação (e logo, de qualquer op. anti-unitário) depende da base que escolhemos. * Voltando ao operador de reversão temporal \Theta, para ele funcionar como esperamos vimos que H\Theta = \Theta H. Vimos algumas consequências absurdas inevitáveis se o operador de reversão temporal fosse unitário. * Em seguida analisamos a paridade sob reversão temporal de alguns operadores: \vec{p}, \vec{x}, \vec{J}. Depois nos voltamos para a questão de como o operador \Theta opera sobre a função de onda de uma partícula de spin 0, expandida na base x, p e na base de harmônicos esféricos. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 5, páginas 10 a 17]]. === Aulas 26, 27, 28 - 20,22 e 27/6=== * Mais propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan: podem ser escolhidos como reais. * Coeficientes de Clebsch-Gordan: como usar uma tabela. * O que são operadores escalares e operadores vetoriais, em termos das suas propriedades sob rotações. * Teorema de Wigner-Eckart para operadores vetoriais, e como ele garante que vários elementos de matriz são zero, além de mostrar a proporcionalidade dos outros elementos com o operador de momento angular. * Voltamos ao estudo de simetrias em mecânica quântica, com destaque para simetrias discretas. Para os operadores de simetria unitários que temos estudado, vimos que caso a Hamiltoniana tenha uma simetria (comute com U), então o gerador do U será uma quantidade conservada. * Se H tem uma simetria, então podemos operar com essa simetria em auto-estados de energia para obter outros auto-estados de mesma energia - um exemplo é a degenerescência dos harmônicos esféricos, devido à simetria por rotações. Se a simetria for quebrada, quebramos também a degenerescência, como acontece com os Hamiltonianos do efeito Zeeman e efeito Stark para o átomo de Hidrogênio. * Começamos a estudar simetrias discretas com o operador de simetria de paridade, que inverte a posição. Vimos que o momento p também é invertido, bem como o momento angular, tanto orbital como de spin. * Funções de onda podem (ou não) ser autofunções do operador de paridade. Se forem, tem paridade bem-definida, sendo pares ou ímpares, no sentido familiar que aparece no cálculo, por exemplo. * Um teorema: Se a Hamiltoniana comuta com o operador de paridade e tem um auto-estado não-degenerado de energia, esse auto-estado será auto-estado também de paridade. Vimos exemplos como os auto-estados do oscilador harmônico, e contra-exemplos (para o caso degenerado), como superposições de diferentes auto-estados com mesma energia do átomo de hidrogênio. * Discutimos o papel da simetria de paridade no caso do poço duplo quântico, cuja Hamiltoniana tem essa simetria. O estado fundamental é par, e o 1o estado excitado é ímpar. Criamos dois estados não-estacionários como superposições desses dois estados, um concentrado no poço da esquerda e um no da direita. Quando levantamos a barreira no meio do poço até o infinito recuperamos a degenerescência, e os dois estados (fundamental e 1o excitado) do poço finito passam a ter a mesma energia. Se criamos um dos estados concentrados em um lado, ele passa a ser estável no tempo, efetivamente quebrando a simetria da Hamiltoniana. Essa quebra de simetria acontece por causa da degenerescência (do estado fundamental, neste caso), e acontece com muitos outros sistemas físicos, como um íma que poderia ter sua magnetização apontando em qualquer direção (ou numa superposição de direções), mas cuja simetria é quebrada, surgindo uma magnetização em uma dada direção. As notas de aula correspondentes vão da [[:notasdeaula|página 28 a 38 do cap. 4, e páginas 1 a 9 do capítulo 5 (Simetrias)]]. === Aula 25 - sexta 15/6 === Adição de momento angular. * 2 exemplos simples: partícula com momento angular orbital e spin 1/2; dois spins 1/2. Vimos que temos 2 escolhas interessantes de base para descrever os sistemas, uma consistindo de produto das bases que já usamos para cada subsistema (baseado em auto-estados de J_{1z}, J_{2z}, J_1^2 e J_2^{2}) e outra em que os operadores que definem a base de auto-estados são J^2 e J_z, operadores do momento angular total. * A teoria formal da adição do momento angular tem como objetivo calcular as probabilidades de obtermos qualquer resultado de medida desses operadores todos, dado um estado inicial qualquer. Descrevemos o operador de rotação infinitesimal para os dois subsistemas, vendo que aparece o operador de momento angular total como gerador. * Vimos o que são os coeficientes de Clebsch-Gordan: são amplitudes de probabilidade associadas ao resultado de medidas na base global, dado uma preparação na base local (e vice-versa). * Discutimos algumas propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan: os valores possíveis de j e m; na próxima aula veremos mais propriedades. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 4, páginas 22 a 27]]. === Aula 24 - quarta 13/6 === Ainda momento angular. * Como calcular J_y para spin 1, e com isso calcular o operador de rotação mais geral. * Momento angular orbital. Mostramos que satisfaz as relações de comutação do momento angular; em seguida que o operador de rotação (gerado por L_z) roda mesmo a função de onda. Com isso encontramos a forma do operador L_z em coordenadas esféricas. Um argumento similar pode ser usado para encontrar os operadores L_x, L_y e L^2 em coordenadas esféricas. * Harmônicos esféricos: são a parte angular da função de onda, no caso de potencial com simetria esférica. São um conjunto completo para expansão da dependência angular de qualquer função no espaço 3D. Encontramos 3 equações que valem para os harmônicos esféricos, usando as equações de autovalores para L^2, L_z e a equação de ortonormalidade dos autovetores. Essas equações podem ser usadas para encontrar explicitamente os Y_l^m. Uma forma prática é começar pelo Y_l^l e ir "descendo a escada", usando o operador L_-. * Vimos que certos elementos de matriz do operador rotação podem ser escritos em termos de harmônicos esféricos. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 15 a 21]]. OBS: a [[:listas|lista 5 já está disponível aqui, reparem que havia um errinho na eq. (8), que já foi corrigido]]. === Aula 23 - quarta 6/6 === Continuando o estudo do momento angular. * Encontramos os auto-valores de J^2 e J_z. Há um passo da derivação que o Sakurai trata de maneira pouco rigorosa, para uma derivação rigorosa vejam a seção C do cap. 6 do Cohen-Tannoudji. * Calculamos os elementos de matriz de J^2, J_z, J_+ e J_-, sempre na base |j,m>. * Discutimos as representações dos operadores de rotação em MQ. Na base |j,m> a matriz de rotação é irredutível, significando que tem a forma mais simples possível, não podendo ser reescrita em formato diagonal por blocos menores em qualquer outra base. Vimos que as matrizes de rotação são unitárias, e que seus elementos de matriz têm um significado físico simples: começando com estado |j,m>, os elementos de matriz nos dão as amplitudes de probabilidade de, após a rotação, obtermos os diferentes valores |j,m'>. * Usando a representação geral de uma rotação como combinação de rotações sucessivas no eixo z, y e z novamente (conhecida como representação dos ângulos de Euler), vimos que para calcular os elementos de matriz de uma rotação geral em qualquer sistema físico, é suficiente saber calcular os elementos de matriz de rotações em torno do eixo y. (Isso é consequência de estarmos trabalhando com a base |j m>.) Fizemos isso para o caso de um spin 1/2, na próxima aula veremos o caso de um spin 1. O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas do cap. 4, páginas 8 a 14]]. === Aula 22 - sexta 1/6=== Hoje começamos a estudar o momento angular em MQ. * A primeira coisa a fazer é deduzir as relações de comutação dos componentes do momento angular. Começamos lembrando a descrição de rotações com matrizes ortogonais, e lembramos que rotações em torno de eixos diferentes em geral não comutam. * Depois descrevemos o operador de rotações infinitesimais na MQ. Para isso, lembramos que o momento angular é o gerador de rotações em mecânica clássica; apareceu um operador fazendo esse papel no operador de rotação infinitesimal em MQ, então identificamos esse operador como o componente do momento angular na direção do eixo da rotação infinitesimal. * Em seguida mostramos que a não-comutatividade das rotações em mecânica clássica se traduz na relação de comutação fundamental do momento angular. Notem que os comutadores foram obtidos sem usar a definição de momento angular orbital \vec{r}\times \vec{p}; o que fizemos é geral, e inclui o momento angular de spin, por exemplo, que não é definido assim mas que, como todo momento angular, satisfaz as mesmas relações de comutação. * Demos uma pausa do desenvolvimento da teoria para descrever rotações de um spin 1/2; acabamos vendo que os valores esperados do momento angular rodam (como esperado) com as rotações. A derivação usando a fórmula de Baker-Hausdorff-Campbell garante que isso vale para qualquer momento angular, e não só para o caso de spin 1/2. * Revisitamos o problema da precessão de um spin 1/2 e vimos que por causa da forma do operador Hamiltoniano, o operador de evolução temporal é, ao mesmo tempo, um operador de rotação, justificando os valores esperador rodarem da forma como fazem com a precessão. * Um fato curioso, consequência disso que estudamos: o vetor de estado de um spin 1/2 só volta ao que era depois de uma rotação de 4\pi radianos, e não 2\pi como poderíamos esperar! Depois de uma volta completa o vetor de estado ganha uma fase de -1 (=e^{i\pi}), que é uma fase global caso o spin seja tudo que temos, mas que será uma fase detetável experimentalmente caso o spin seja parte de um sistema, como foi feito na experiência de Rauch e outros, e Werner e outros, em 1975. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 4, páginas 1 a 7]]. === Aula 21 - quarta 30/5=== * Relembramos como derivar a equação de continuidade, e depois fizemos o mesmo incluindo agora o termo de potencial vetor na Hamiltoniana de uma partícula carregada. Vimos que isso altera o fluxo de probabilidade J. * Transformações de calibre na MQ: vimos que os potenciais mudam de forma a não mudar E, B, mas temos necessariamente que introduzir um fator de fase na função de onda. Isso leva a mudanças no valor esperado do momento (que não é invariante de calibre, logo não é algo que tenha significado físico direto). Mostramos que a equação de Schrodinger é invariante por transformações de calibre, e vimos que o momento mecânico Pi é invariante, e que pode ser observado fisicamente (por exemplo, observando como o valor esperado da posição muda no tempo). * Vimos explicitamente como o momento canônico p se transforma sob transformações de calibre. * Por último descrevemos brevemente o efeito Aharonov-Bohm, em que feixes de partículas quânticas têm seu comportamento mudado pela existência de um fluxo magnético numa região por onde as partículas nunca passam. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|páginas 34 a 41 do cap. 3 das notas de aula]]. === Aula 20 - sexta 25/5 === Potenciais e transformações de calibre. * Se adicionamos uma constante V_0 ao potencial, o estado ganha uma nova fase, mas essa fase é uma fase global que não muda os valores esperados dos observáveis. * No entanto, se um feixe é dividido e cada sub-feixe passa por uma região com um potencial constante e diferente entre as regiões, cada sub-feixe ganha uma fase diferente, e essa diferença das duas fases é observável no padrão de interferência da sobreposição dos dois subfeixes. * Esse efeito pode ser usado para observar uma consequência da gravidade na mecânica quântica. Na verdade, quando observamos partículas elementares que caem, estamos observando efeitos da gravidade na MQ. O que temos em mente aqui é um efeito em que a combinação \hbar/m apareça, e isso é justamente o que acontece com a interferência quântica induzida pela gravidade. * Nesse experimento um feixe de nêutrons é dividido em dois subfeixes, e um deles se propaga durante um intervalo de temo a uma altura maior que o segundo subfeixe. Com isso surge a diferença de fase, que foi [[http://www.atomwave.org/rmparticle/ao%20refs/aifm%20refs%20sorted%20by%20topic/inertial%20sensing%20refs/gravity/COW75%20neutron%20gravity.pdf|observada experimentalmente de forma conclusiva em 1975 por Colella, Overhauser e Werner]]. * Transformações de calibre no eletromagnetismo. Escrevemos a Hamiltoniana de carga em campo eletromagnético, e aparece o momento mecânico ou cinemático \vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A} que, veremos depois, será conservado por transformações de calibre no potencial (transformações que não mudam os campos E, B). * Obtivemos a equação de movimento de Heisenberg para a segunda derivada de x, que é a versão quântica da força de Lorentz. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 3, páginas 29 a 34]]. === Aula 19 - quarta 23/5 === Estados coerentes do oscilador harmônico. * São estados cuja evolução temporal para os valores esperados de x, p seguem as trajetórias do oscilador harmônico clássico. * Descrevemos o oscilador harmônico clássico, fazendo uma mudança de variáveis análoga à mudança de operadores que fizemos no caso quântico, para descrever o problema em termos dos operadores a e a^{\dagger}. No OH clássico, isso consiste em descrever o oscilador usando a amplitude complexa \alpha. * Definimos as duas condições que queremos que nossos estados coerentes satisfaçam: que tenham o mesmo valor de energia e os que o valor esperado do operador a no estado inicial seja o a amplitude clássica inicial \alpha_0. Com isso, teremos que os valores esperados de x e p seguirão as trajetórias clássicas. * Propriedade 1 de estados coerentes: são auto-estados do operador a, com autovalor correspondente à amplitude clássica \alpha. Isso nos permite encontrar os coeficientes da expansão na base de energia. * Propriedade 2: o valor esperado da energia é o mesmo que o clássico; a distribuição de probabilidade para resultados de medidas de energia segue uma distribuição de Poisson. * Propriedade 3: definimos um operador de translação no espaço de fase, e estados coerentes são o estado fundamental transladado assim. Por isso, estados coerentes também são estados de incerteza mínima. O que vimos corresponde [[:notasdeaula|às páginas 23 a 28 do cap. 3 das notas de aula]]. === Aula 18 - sexta 18/5 === Oscilador harmônico. * Aplicando sucessivamente operador a a um auto-estado de energia, encontramos que o número de excitações n deve ser inteiro maior ou igual a zero, o que nos dá o espectro de energia. * A função de onda do estado fundamental satisfaz uma equação diferencial equivalente à condição a|0\left> =0. Resolvendo-a, encontramos que o estado fundamental é uma função gaussiana. * Aplicando o operador a^{\dagger} ao estado fundamental encontramos as funções de onda dos estado excitados. * Encontramos elementos de matriz e variâncias de x e p para auto-estados de energia. Vimos que =

=0 para auto-estados de energia. Para encontrar estados cujos valores esperados de x e p oscilam como a posição e momento de um oscilador clássico vamos ter que encontrar os estados coerentes, que (como qualquer estado quântico) podem ser escritos como superposições de auto-estados do operador número (e da energia). * Encontramos as equações de Heisenberg para evolução temporal dos estados. O que vimos nesta aula corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 3, páginas 17 a 22]]. === Aula 17 - quarta 16/5=== Hoje tivemos vista da 1a prova, e discutimos os problemas da prova. Depois: * Princípio da incerteza para energia/tempo: vimos que a desigualdade parece ser aquela que sai da consideração das variâncias de dois observáveis que comutam (a relação de incerteza que derivamos), mas deve ser obtida de outra forma pois o tempo não é observável. Definimos \Delta t como um tempo característico para a variação de um observável Q de um desvio padrão; então vale \Delta t \Delta E \le \hbar/2, onde \Delta E é a variância da energia (operador Hamiltoniano). * Começamos a estudar o oscilador harmônico quântico. Fizemos uma "mudança de variáveis" (na verdade, de operadores) para expressar a Hamiltoniana com os operadores a e a^{\dagger}, definidos como certa combinação llinear (não-Hermitiana) dos operadores x e p. Reescrevemos a Hamiltoniana usando o observável número N=a^{\dagger}a, e vimos que como [H,N]=0, procurar os auto-estados de H é equivalente a procurar os auto-estados de N. A continuar na próxima aula. \\ O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do capítulo 3, páginas 14 a 17]]. === 1a Prova - sexta 11/5 === Veja as notas [[:notas|aqui]]. === Aula 16 - quarta 9/5=== Hoje discutimos os problemas da lista 3 e resolvemos outros problemas de revisão para a 1a prova. === Aula 15 - sexta 4/5 === Hoje continuamos discutindo a dinâmica quântica, apresentando duas maneiras diferentes de discuti-la, as descrições (ou representações) de Schrodinger e de Heisenberg. * Definição das duas descrições, exemplo com operador de translação infinitesimal. * Equação do movimento para os operadores na descrição de Heisenberg. * Como provar duas identidades mostrando o cálculo de comutadores de x com funções de p, e vice-versa. * Usamos as identidades para obter os operadores x(t) e p(t) para o exemplo de partícula livre. * Ao examinar uma partícula sob ação de potencial V(x) arbitrário, vimos que os valores esperados de x e p seguem trajetórias clássicas, o que é conhecido por teorema de Ehrenfest, um resultado importante para a comparação entre a teoria clássica e a quântica. * Vimos como os vetores-base (que são autoestados de um observável na descrição de Heisenberg) mudam juntamente com o observável, "rodando" na direção contrária àquela em que "rodam" os vetores-estado na representação de Schrodinger. \\ O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 3, páginas 7 a 13]]. === Aula 14 - quarta 2/5 === Hoje começamos a discutir a dinâmica quântica. * Encontramos o operador infinitesimal de evolução temporal, nos baseando na discussão que já tínhamos feito sobre transformações contínuas de estados quânticos. Vimos que o gerador da evolução temporal é o operador Hamiltoniano. * A partir da forma do operador infinitesimal (e da forma como eles se compõem), obtivemos uma equação diferencial que o operador de transformações finitas deve satisfazer. Essa é a equação de Schrodinger para o operador U. * Vimos que a equação diferencial para as funções de onda segue diretamente da equação para U. * Discutimos 3 casos diferentes em que temos que encontrar o operador, e a solução formal para cada caso: i) H independente do tempo; ii) H dependente do tempo, mas com H(t) comutando com H(t'); iii) H com dependência arbitrária do tempo. Na maior parte dos casos de interesse neste curso lidaremos com o caso i). * Vimos como evoluem os autoestados de energia, e como os valores esperados variam com t para um estado geral. * Discutimos um exemplo simples de dinâmica, um spin precessionando em campo magnético uniforme. * Por fim, discutimos as dificuldades mais comuns que vocês tiveram na lista 2, que entreguei corrigida. O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 3, páginas 1 a 6]]. === Aula 13 - sexta 27/4=== Hoje terminamos a discussão sobre o formalismo de operadores densidade. * Vimos como descrever sistemas quânticos compostos de duas partes (ou mais). A construção de observáveis e kets no espaço de Hilbert maior corresponde ao produto tensorial, também conhecido como [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product|produto de Kronecker]]. * Embora os vetores-base do sistema composto sejam estados produto, nem todo estado do sistema composto é produto. Os que não são produtos são chamados de estados emaranhados, e têm propriedades interessantes: são úteis em diversos protocolos da área de informação quântica (como o teletransporte e a distribuição quântica de chaves criptográficas); e não têm os estados das partes bem-definidos, enquanto o estado total é bem-definido. Se você ficou curioso sobre a área de informação quântica, eu recomendo a leitura do [[http://profs.if.uff.br/ernesto/wiki/doku.php/livro|meu livro de divulgação científica]] (há exemplares na biblioteca). * Vimos como os subsistemas de um sistema composto em geral são descritos por uma matriz densidade mista, e aprendemos a calcular essa matriz densidade a partir do estado do sistema total, usando a operação chamada de traço parcial. * Se temos um estado global puro e tiramos o traço parcial, encontrando uma matriz densidade mista, podemos concluir que o estado original era emaranhado. * Exemplos de matrizes densidade mistas e traço parcial. \\ O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|notas de aula do cap. 2, páginas 9 a 15]]. === Aula 12 - quarta 25/4 === Continuamos o estudo do formalismo do operador densidade. * Chamei atenção para a diferença entre superposição de estados e combinação convexa das matrizes-densidade correspondente a esses estados. * Provamos 3 propriedades dos operadores-densidade: não-negatividade, traço 1, Hermiticidade. * Provamos também propriedades do espectro de \rho: a soma dos autovalores é 1; não-negatividade é equivalente a termos todos os autovalores não-negativos. * Como reconhecer se uma matriz densidade representa um estado puro ou misto? 2 condições equivalentes a ser puro: \rho^2=\rho e Tr(\rho^2)=1. * Vimos outra caracterização de estados puros: não podem ser escritos como combinação convexa de outros estados, enquanto todos os mistos podem. * Vimos exemplos de decomposições múltiplas do mesmo operador densidade, e vimos exemplos de matrizes-densidade para alguns estados puros e mistos de spin. O que vimos hoje corresponde às [[:notasdeaula|notas do cap. 2, páginas 3 a 8]]. === Aula 11 - sexta 20/4 === * Começamos discutindo como representar estados e operadores usando a base dos auto-estados de momento. * Obtivemos também o unitário (função de transformação, como às vezes é chamado no caso de variável contínua) que leva a base x na base p e vice-versa. É a nossa conhecida onda plana. * De maneira natural obtivemos as integrais que levam uma representação na outra, e vimos que essas integrais são simplesmente a transformada de Fourier (e a transformada inversa). * Exemplo: pacotes Gaussianos. Calculamos valores esperados, variância etc, e vimos que eles são estados de incerteza mínima. * Vimos rapidamente o que precisamos mudar quando vamos representar estados no espaço tridimensional, ao invés da partícula na reta. * Introdução ao formalismo do operador densidade. Uma situação para motivar o formalismo: descrevendo uma situação em que a produção de estados puros é feita probabilisticamente, e vimos como calcular o valor esperado de algum observável de interesse para esse ensemble estatístico de estados puros. Essa é a típica situação em que o formalismo do operador densidade é útil; outra situação típica, que veremos mais adiante, é quando queremos descrever um subsistema de um sistema quântico maior, ou como dizemos no jargão, um sistema quântico aberto. O que vimos corresponde às [[:notasdeaula|páginas 54 a 58 das notas do cap. 1, e páginas 1 e 2 das notas do cap. 2]]. Para quem não reparou, simplifiquei um pouco [[:listas|a lista 2 de exercícios]], deem uma olhada lá. === Aula 10 - quarta 18/4 === * Vimos o que é um grupo (matemático), e alguns exemplos de grupos discretos e contínuos. Já tínhamos visto que as translações formam um grupo. Para saber mais consulte livros de álgebra ou notas de aula disponíveis na internet, por exemplo [[http://www.isv.uu.se/~rathsman/grouptheory.html|este curso]]. * Voltando à mecânica quântica, vimos que os componentes do momento comutam e permitem definir uma base de auto-estados comuns. * Comentei rapidamente que há outras formas de chegarmos às relações de comutação canônicas, por exemplo o caminho que Dirac seguiu, "quantizando" a mecânica clássica dos parênteses de Poisson. * Discutimos a mecânica quântica de uma partícula em 1D, descrita usando a base de autoestados de posição. Vimos como escrever produtos internos, expansões de funções em termos de uma base de auto-funções, e como escrever os elementos de matriz de um operador. Em seguida vimos como obter valores esperados de funções da posição. * Obtivemos a forma do operador momento na representação de posições, usando o efeito conhecido do operador de translação, que é função do operador momento. Respondendo a uma pergunta, dá sim para fazer essa dedução usando translações finitas, o que apareceria na eq. 1.7.15 do Sakurai seria uma expansão de Taylor com infinitos termos, a ser comparada com a expansão de Taylor para a exponencial que descreve a translação finita. Comparando termo a termo, vemos que o operador momento é mesmo -i\hbar \frac{d}{dx}. Vimos o equivalente às [[:notasdeaula|páginas 49c a 53 das notas de aula]]. A [[:listas|2a lista está disponível]], a entrega deve ser feita até a sexta 27/4. === Aula 9 - sexta 13/4 === * Começamos discutindo as principais dificuldades que vocês tiveram com a primeira lista de exercícios. * Discutimos o significado físico do operador Hermitiano K, vendo que ele deveria se relacionar ao operador momento. Dividimos K pela constante de Planck (que tem a dimensão necessária, de ação), para definir o operador momento, e com isso encontramos a relação de comutação fundamental entre posições e momentos. * Vimos como transformações mais gerais de estados permitem que descubramos o operador de transformação infinitesimal (que é unitário), e a partir dele encontramos o operador de transformações finitas. Voltando ao operador K, vimos que ele é o gerador das translações, e encontramos o operador de translações finitas. Lembramos como definir funções de operadores, derivá-las etc, o que precisamos para resolver a equação diferencial que nos deu as transformações finitas. * Usando o fato das translações finitas comutarem, encontramos as relações de comutação dos momentos.\\ Na aula de hoje vimos o correspondente às páginas 47 a 49b das notas de aula, além de termos discutido as soluções da primeira lista de exercícios. === Aula 8 - quarta 11/4=== * Como transformamos observáveis para outras bases, obtendo um observável equivalente, que provamos ter o mesmo espectro. Como exemplo, mudando a base podemos transformar o operador de momento angular S_z em S_x, ou componente em qualquer direção. * Começamos a discutir espaços de Hilbert correspondente a observáveis com espectro contínuo, como posição e momento. A dimensão do espaço nesse caso é infinita. A primeira coisa que fizemos foi fazer uma lista de equivalência entre fórmulas para espaços de Hilbert discretos e contínuos. * Em seguida, para tratar de um caso concreto, começamos a discutir medidas de posição. * Discutimos a operação de translação, introduzindo um operador correspondente à translação infinitesimal dos estados quânticos. Listamos quatro propriedades do operador desse operador \tau(dx), e em seguida mostramos que o operador proposto tem essas quatro propriedades. * Em seguida, calculamos o comutador [\tau(dx),x], e vimos que eles não comutam. Na próxima aula vamos interpretar esse fato. O que vimos na aula de hoje corresponde às [[:notasdeaula|páginas 41 a 47 das notas de aula]]. === Aula 7 - quarta 4/4 === * Provamos alguns lemas. 1o Lema: desigualdade de Schwarz. 2o Lema: valor esperado de operadores Hermitianos é real (já tínhamos provado isso). 3o Lema: valor esperado de operadores anti-Hermitianos é imaginário puro. * Usando os lemas provamos a relação de incerteza - uma desigualdade para variâncias de observáveis incompatíveis. * Mudança de base: vimos que sempre é possível definir um operador unitário que leva uma base em outra. Vimos como se transformam os coeficientes da expansão de estados, e os elementos de matriz de operadores, em termos desse operador unitário. Listamos algumas propriedades do traço de uma matriz (algumas das propriedades podem ser provadas usando-se os unitários de troca de base). \\ O que vimos na aula de hoje corresponde às [[:notasdeaula|páginas 34 a 39 das notas de aula]]. === Aula 6 - sexta 27/3 === * Começamos a aula discutindo alguns dos problemas da lista 1, cuja entrega foi adiada para a próxima quarta-feira por causa da greve de ônibus em Niterói. * Sejam A